数学三第二章“统计”简介

来源:    发布时间:2007-09-12

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统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学,它可以为人们制定决策提供依据。在客观世界中,需要认识的现象无穷无尽。要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料,然后通过分析这些资料来认识此现象。如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析,是正确地认识未知现象的基础,也是统计所研究的基本问题。

现代社会是信息化的社会,数字信息随处可见,因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学──统计学就备受重视。可以说,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。

一、内容与课程学习目标

本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法,以及几种从样本数据中提取信息的统计方法,其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。

从义务教育阶段来看,统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段,在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法,教学要求随着学段的升高逐渐提高。在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上,本教科书通过实际问题及情景,进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。

具体来说,通过学习要使学生达到以下目标:

1.随机抽样

(1)能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

(2)结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。

(3)在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。

(4)能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

2.用样本估计总体

(1)通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点。

(2)通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。

(3)能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释。

(4)在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异。

(6)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

3.变量的相关性

(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

(2)经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

二、内容安排

本章内容安排的总体思路是:通过实际问题情境,引导学生学习随机抽样、用样本估计总体、线性回归的基本方法,使他们了解用样本估计总体及其特征的思想,体会统计思维与确定性思维的差异;通过实习作业,让学生较为系统地经历数据收集与处理的全过程,进一步体会统计思维与确定性思维的差异。

全章共安排了3个小节,教学约需16课时,具体内容和课时分配(仅供参考)如下:

2.1 随机抽样 约5课时

阅读与思考 一个著名的案例

阅读与思考 广告中数据的可靠性

阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应

2.2 用样本估计总体 约5课时

阅读与思考 生产过程中的质量控制图

2.3变量间的相关关系 约4课时

阅读与思考 相关关系的强与弱

实习作业 约1课时

小结 约1课时

本章知识结构如下:

1.现代社会是信息化的社会,人们面临形形色色的问题,把问题用数量化的形式表示,是利用数学工具解决问题的基础。对于数量化表示的问题,需要收集数据、分析数据、解答问题。统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。

2.义务教育阶段已经介绍了一些有关抽样调查的知识,本章的侧重点在于如何能够得到高质量的样本,了解方便样本的缺点以及随机样本的简单性质。教科书首先通过大量的日常生活中的统计数据,通过边框的问题和探究栏目引导学生思考用样本估计总体的必要性,以及样本的代表性问题。为强化样本代表性的重要性,教科书通过一个著名的预测结果出错的案例,使学生体会抽样不是简单的从总体中取出几个个体的问题,它关系到最后的统计分析结果是否可靠。关于这个案例,还隐含着方便样本代表性差的问题,教师稍加引导就可以使学生体会到这一点。通过对“广告中数据的可靠性”的思考,使学生能从样本代表性的角度思考日常生活中的数字统计结果的科学性问题。

3.在学生体会到样本的重要性之后,接下来教科书以袋装牛奶的质量问题为情景,探讨获取能够代表总体样本的方法。在这个过程中,教科书利用一勺汤来“判断一锅汤的味道”的浅显道理,使学生认识到把总体“搅拌均匀”是取得有代表性总体的关键所在。教师稍加引导,就可使学生体会到“搅拌均匀”的本质是使总体中的每个个体入选到样本的可能性相等,这样就自然地得到了随机样本的概念。随后教科书较详细地介绍了简单随机抽样方法,通过实际问题情景引入系统抽样和分层抽样方法。最后通过探究的方式,引导学生总结三种随机抽样方法的优缺点。

4.当研究的对象为人时,获取样本数据变得更加复杂,涉及到组织问题、心理学问题、道德问题等,教科书通过阅读与思考“如何得到敏感性问题的诚实反应”,让学生体会到这一点。

5.在第2节,教科书通过探究栏目引导学生思考居民生活用水定额管理问题,引出总体分布的估计问题,该案例贯穿本节始终。通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图。教科书在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下了较大的发挥空间。教师可以通过初中有关随机事件的知识,也可以利用计算机多媒体技术,引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性;通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想。

6.由于样本频率分布直方图可以估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征,这就提供了估计总体特征的另一种途径,其意义在于:在没有原始数据而仅有频率分布的情况下,此方法可以估计总体的分布特征。

教科书还结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数。对于众数、中位数和平均数的概念,重点放在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些(描述平均位置的)统计术语进行误导。另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同。在得到这个结论后,教师可以举一反三,使学生思考对于众数和平均数,是否也有类似的结论。进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点。在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众数,并用它们估计总体的中位数、均值和众数。但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见到的频数表或频率表,用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计。

教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到:只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征。通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程。教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用。

7.变量之间的关系是人们感兴趣的问题。教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系。在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性。随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程(模型)。教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想。通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使同学了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程做出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误。进一步,教师可以利用计算模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性。

在阅读与思考“相关关系的强与弱”中,进一步介绍了描述两个变量之间关系强弱的样本特征──相关系数的计算公式及统计含义,通过分析具有不同相关系数的数据的散点图,进一步加深学生对相关系数的直观理解。

三、编写中考虑的几个问题

1.强调典型案例的作用

统计与现实生活的联系是非常紧密的,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的。在教科书编写时,我们特别注意了选择典型的、学生感兴趣的问题作为例子,让学生体会其中的统计原理。例如,教科书中通过1936年美国总统选举前的一次失败的民意调查,让学生体会方便样本所带来的问题,理解为什么要采用随机样本。

在编写教科书时,还注意用类比的方法,使学生更加深刻地理解统计方法的精髓。例如在引出简单随机样本之前,用如何品尝一锅汤的味道来类比。

这种利用典型案例编写统计内容的方式,可以使学生在解决实际问题的过程中,经历数据处理的全过程,并在这个数据处理的过程中学习有关的统计知识和方法,体会统计的思想,同时也使学生感受统计与实际生活的密切联系以及在解决现实问题中的作用。

2.注意从案例中总结发现规律,培养学生从具体到抽象的创造性思维能力

教科书各节的开头,都借助于一个具体的问题情节的探究或思考,引导学生从具体的问题中总结、抽象出一般规律,使学生体会其中的统计思想来源,培养创造性思维的能力。

3.通过开放性问题给学生留下了宽广的探索空间,给教师留下了更多的发挥余地

教科书中设置了思考、探究等栏目和阅读与思考等选学内容,还在边框中提出了一些关键性的问题;其中的一些问题并没有在教科书中给出明确的答案,而在教师教学用书中说明了设置这些问题的目的、解答问题所需的知识点和需要注意的事项,以及参考答案。这样的安排,是为了锻炼学生的创造性思维能力,同时为教师的教学留下更多的余地。

4.注意与初中相关内容的衔接,为后面的学习打下基础

教科书编写时,一方面注意与初中以前学习的相关内容的衔接,同时也注意为后面的学习打好基础。比如在介绍众数、中位数和平均数时,介绍了利用频率分布图来估计这些特征的另一种途径,并通过思考栏目使学生发现这里的方法与初中学过的方法之间的联系,进一步加深对这些概念的理解。

5. 注重对统计推断结论的正确理解

教科书通过边框和思考栏目等引导学生正确理解实际问题中的统计推断结论。比如在变量间的相关关系一节中的最后一个思考栏目提出了这样的问题:“气温为2oC时,小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吧?为什么?”

6. 使用信息技术的思考

计算机多媒体及仿真技术,能够很好地帮助学生理解随机现象,处理数据和画统计图。因为教科书是直接面向学生的书面材料,不同的软件操作方法也不同,所以我们没有在教科书的各处都详细介绍利用现代信息技术进行教学的方法,而是把它放到教师教学用书中,并且会配备相应的光盘,以利于教师根据不同的情况,更好地展示自己的教学特色。

四、对教学的几个建议

1.要把教学重点放在使学生体会统计思想上

与以往的课程相比较,本章内容特别重视引导学生体会统计思想。统计思想是在收集数据、整理数据、数据以及使用数据的过程中体现出来的,例如对随机抽样的必要性、重要性的认识;抽样过程中对样本代表性的要求以及关于如何抽样才能保证样本代表性的思想;用部分数据来推测全体数据的性质的思想……因此,在教学中,应当利用教科书中提供的或学生身边的问题创设情景,引导学生在完整的数据处理过程中体会统计思想,而不要把学生的注意力引导到诸如计算平均数的技巧之类的细枝末节上去。

2.要强调案例的使用

统计的教学一定要强调案例的作用,通过一些典型案例,让学生经历几次统计解决问题的全过程,对于学生领会统计的基本思想、掌握统计的基本技术,学会从数据中提取有用信息的基本方法,都是非常重要的。教科书中关于用水量标准的制定贯穿了“用样本估计总体”的全过程,这是一种示范。教学中还可以让学生自己从各种媒体上搜集一些统计案例,用所学的统计知识进行分析。

3.要强调让学生经历较为系统的数据处理全过程

统计的教学需要学生自己的亲身实践,纸上谈兵是难以学会统计知识、领会统计思想的。教学中应注意选择恰当的实例,创设问题情境,鼓励学生积极参与,在自己的亲身实践中体会和理解所学内容的基本思想和意义。

为了促使学生系统经历统计解决问题的过程,教科书设置了“实习作业”,教学中应当充分重视它。可以先让学生在课余时间收集数据,经过自己对数据的整理分析后写出实习报告,然后再在课堂上进行交流(实习作业的1个课时就是用来交流的)。

4. 恰当使用信息技术

信息技术为统计的教与学提供了方便的工具,利用信息技术可以大大提高数据处理的效率和效果,而且还可以引起学生的兴趣,让学生把更多的时间与精力用在理解统计思想,设计数据处理的方法,以及探究事物的统计规律上。因此教学中应当充分发挥信息技术的作用。考虑到地区差异,而且目前的科学型计算器的功能已经可以应付大部分的数据处理要求,因此教科书在科学型计算器的使用上提出了明确的要求,而在计算机的使用上没有提出明确要求。有条件的学校在教学过程中,要充分鼓励学生选择恰当的信息技术工具来处理数据。

[作者:北京师范大学数学科学学院 李勇 来源:《高中数学》]